정확한 리니어모션 실행을 위한 바인딩 비율과 Stick-Slip 현상에 대한 설명

PBC Linear

소개

평면 베어링에 대한 가장 빈번한 오해 중 하나는 ‘2:1 마법 비율’이다. 엔지니어 대부분은 모멘트 암 길이와 베어링 길이 비율은 2:1이며 그것을 위배하면 그 애플리케이션은 실패한 것이라 배웠다.

역사

2:1 비율은 1990년대 Pacific Bearing Company(PBC)에 의해 처음 시장에 소개되었다. 대부분의 자동 윤활성 리니어 베어링 제조업체는 빠르게 사용 권장 기본 원칙 중 하나로 받아들였다. 1980년대에 PBC는 리니어 볼 베어링과 크기가 호환되는 첫 번째 평면 베어링을 발명하여 상업적으로 생산하기 시작했다.

이로 인해, 주로 마찰 계수가 높은 볼 기반 시스템이나 동 베어링을 사용하는 엔지니어들은 새로 학습해야 했다. 평면 베어링 시스템은, 극고온이나 극저온, 고진공, 높은 진동, 높은 모멘트 하중, 윤활이 없는 짧은 스트로크(2×베어링 길이 미만)을 포함하는, 재순환 볼 기반 시스템이 실패한 많은 환경에 탁월하였다.
평면 베어링은 낮은 마찰 계수나 매우 빠른 속도, 높은 모멘트 하중이 필요한 적용 분야에 사용할 수 있는 대체품으로는 발명되지는 않았다. 실제로, 높은 모멘트 하중을 갖는 일부 애플리케이션을 간단히 묶어서 모든 모션을 중단시키거나 움직이지 않게 할 수 있다(스틱 슬립 모션이라고도 함). 초기에는, 평면 베어링은 같은 크기의 재순환 볼 베어링과 같은 모멘트 하중을 처리할 수 ​​없다고 여겼다.

엔지니어들은 PBC가 2:1 비율을 발표할 때까지 평면 베어링의 허용 작업 공간을 설명하는 기하학적 관계가 있다는 것을 알지 못했다.
20년이 지난 지금도 일부 엔지니어는 이 비율이 평면 베어링뿐만 아니라 모든 리니어 모션 시스템에 광범위하게 사용되는 것을 모르고 있다. 또한 2:1 비율은 항상 ‘2:1’이 아니다. 각 애플리케이션의 고유한 기준에 따라 실제 비율은 2:1보다 크거나 작을 수 있다. 여기서는 2:1 비율을 ‘바인딩 비율(Binding Ratio)’라고 한다.

정의

‘바인딩 비율’은 공식적으로 모멘트 암 거리와 베어링 길이의 최대 비율로 정의된다(모션 방지).
바인딩 비율은 종종 ‘^X:_Y’와 같이 숫자로 표시된다. 여기서 ‘X’는 암 거리이고 ‘Y’는 베어링 길이다. 일반적으로 ‘X’의 값은 ‘X/Y:1’로 표현되도록 ‘Y’로 나눈다. 이 기사의 특정 사례에서 사용된 비율은 ‘2:1’이다. 바인딩 비율은 이론적으로 수학을 사용하여 정의한다. 그러나 몇 가지 요인으로 실제 구현은 복잡해진다.

이론

‘바인딩 비율’ 뒤에 있는 핵심 원칙 중 하나는, 모든 운동에는 작용과 반작용이 있다는 뉴턴의 제3 운동 법칙이다.
나머지는 기본 통계와 동역학 방정식으로 분류된다. 힘이 중심에서 일정 거리(D₁)가 떨어져 베어링에 가해지면 모멘트 힘이 발생한다. 이 때 베어링 양 끝에서 2개의 힘이 생성되어 저항한다.이 힘에 마찰 계수가 곱해지면 견인력이 생성된다. 어떤 시점에서 항력이 구동력을 초과하고 동작이 중지된다. 이 기사는 최대 모멘트 암(베어링 길이 대비 비율)이 마찰 계수에 의해서만 제한되므로 구동력의 크기가 무의미하다는 것을 보여준다.

이것은 단일 힘(F₁)이 기지 거리(D₁)에서 리니어 베어링 시스템에 적용되는 예이다. 베어링 시스템과 모멘트 암이 강체라고 가정하면 운동은 F₁이 적용되는 방향과 같을 것이다.
리니어 베어링 시스템은 단지 1차원 운동만 허용하도록 설계되었다고 볼 수 있으며, 그것은 운동의 축이 된다. 아래의 그림 1은 PBC의 표준 미니 레일 제품이다.
그림 2는 베어링의 길이(L₁)인 기지 거리(D₁)로 힘(F₁)이 베어링에 가해진 것을 보여 준다.

이 식을 단순하게 유지하기 위해, 적용된 힘(F₁)은 단일 평면에 적용되고 이동 방향과 평행하다고 가정한다.
그림 3은, 그림 2의 결과 값을 반복하고, 같은 크기의 반력(F₂와 F₃)을 한다. 그러면 적용 순간의 결과가 된다. 힘 F₂와 F₃은 지점 A와 B에서 각각 적용된다.
그림 4는 견인력(F₄와 F₅)을 보여준다. 견인력은 캐리지가 움직일 때, 캐리지의 마찰 계수 대 레일(μ)을 곱한 결과적인 힘(F₂와 F₃)으로 인해 발생한다. 그림 5는 전체 시스템과 캐리지에 작용하는 모든 힘을 보여준다.

뉴턴의 제1 운동 법칙(구조물에 가해지는 모든 힘의 벡터화된 합계가 0보다 커질 때까지 물체는 정지 상태로 유지됨)에서, 캐리지가 가해진 힘을 가속하기 위해서는 견인력(F₄와 F₅)의 합보다 커야 한다. 실제로는 캐리지의 중량과 적재물의 중량으로 추가 저항력이 발생한다. 현재 이 추가 저항은 무시된다.

  통계 식을 시작하기 위해 점 C가 지렛대가 되고, 모든 힘과 모멘트가 이 지점에서 합산된다. 아래의 그림 6은 점 C의 원점에 적용된 힘(F₁)과 결과 힘(F₂와 F₃)으로 인한 레버 암을 보여준다.
  리니어 베어링 시스템은 회전이 안정하도록 설계되었기 때문에 모멘트의 합(C점 전후)은 0과 같다(식 5). 식 6~10은 결과 F₂와 F₃ 힘을 풀기 위해 단순한 식으로 보여준다.

베어링이 구속에서 모션으로 바뀌는 전이 지점에서(또는 그 반대), 식 4의 가속값이 음수에서 양수값으로 바뀐다. 이 문제를 해결하려면 값을 0으로 설정하여 특정 전환 지점을 찾는다. 다음 식들은 가속도가 0인 전환점에서만 유효하다.

앞에서 언급한 바와 같이, 애플리케이션이 움직일 수 있으려면 견인력의 합보다 더 큰 추진력이 있어야 한다.
위의 식 12는 마찰 계수(μ), 베어링 거리와 모멘트 암 거리 사이에 관계가 있음을 보여준다. 식 12를 다시 정렬하면 애플리케이션이 움직이도록 충족해야 하는 세 가지 조건이 도출된다. 공식 13~15는 마찰의 최대 허용 계수(μ), 최대 허용 모멘트 암 거리(D₁),최소 허용 베어링 길이(L₁)를 구분한다.

이 기사의 시작 부분에서 바인딩 비율이 마찰 계수의 순수한 미분과 베어링 길이와 모멘트 암 거리의 관계라는 주장이 제기되었다. 이 점을 더 잘 설명하기 위해 마찰 계수에 대해 최대 허용 바인딩 비율이 무엇인지 보여주는 그래프를 만들 수 있다.

아래의 그림 7은 마찰 계수가 작을수록 바인딩 비율이 커질 수 있음을 보여준다. 이 그림에서 식 14가 사용되었고, 베어링 길이 L₁은 L₁=1로 설정되었다. X축은 마찰 계수 에 대해 다른 값을 나타내며 Y축은 바인딩 비율을 나타낸다.

설명을 위해 직선 운동 시스템에서 흔히 볼 수 있는 가장 낮은 공통 마찰 계수는 마찰 계수가 μ=0.001인 재순환 볼 유형 리니어 가이드이다.
식 14를 사용하고 베어링 길이를 1로 설정하면 결과는 바인딩 비율 500:1이다. 현대 플레인 베어링에서 발견되는 가장 높은 마찰 계수는 μ=0.5이다. 그러나 대부분의 현대 재료는 μ=0.1~0.25의 값을 갖는다. 그림 7은 높은 모멘트 하중과 큰 모멘트 암 거리를 갖는 적용 분야에서 낮은 마찰 계수의 중요성을 그래픽으로 보여준다.

가정

모든 힘은 이동 방향과 평행한 축에 적용된다고 가정한다. 그러면 벡터 수학의 복잡성과 중복을 제거한다. 실제 적용에서 대부분, 힘은 X축과 Y축, Z축 벡터로 분해되는 힘이 필요한 비평행 각도(non-parallel angle)에 실제로 적용된다. 최종 결과는 여기에 표시된 것과 같다. 유일한 차이점은 위의 수식이 각 축에 한 번씩, 세 번 반복되어야 한다는 것이다.

스틱–슬립(Stick-Slip)

엔지니어가 직면하는 가장 어렵고, 잠재적으로 치명적인 문제 중 하나는 스틱-슬립 모션이다. 특히 이것은 계획된 것이 아니며, 문제가 해결될 때까지 생산이 중단될 수 있으므로 큰 타격을 입는다. 여기서는 스틱 슬립의 원인 중 하나를 찾고자 한다. 이전 섹션에서는 마찰 계수(µ)를 단일값으로 설명했다.

실제로 모든 재료에는 두 가지 마찰 계수(정적(µ_s)과 동적(µ_k)가 있다. 일반적으로 정적 마찰 계수는 동적 마찰 계수보다 크거나 같다. 기계의 핸드북에 나온 재료의 기본적인 비교를 참고하여, 평균적으로 동적 마찰 계수가 정적 마찰 계수의 65%라는 것을 확인했다. 이 값은 모든 재질마다 분명히 다를 수 있으므로, 설계된 재료의 특정 값을 확인해야 한다.
마찰 계수가 클수록 바인딩 비율이 낮아진다. 정적과 동적 마찰 계수의 차이는 시스템이 작동해야 설계도 작동하고, 시스템이 멈추면 설계도 작동을 멈춘다는 것을 의미한다. 그림 7은 다양한 정적과 동적 마찰 계수에 대한 바인딩 비율을 보여준다.

그림 8은 그림 7의 상세도이다. 각 그림에는 두 개의 곡선이 그려져 있다. 상단 곡선은 정적 마찰 계수를 기초로 한 바인딩 비율이다.
아래쪽 곡선은 동적 마찰 계수가 정적 마찰 계수보다 35% 더 작다는 가정에서 동적 마찰 계수의 결합률을 나타낸다.

플롯 하단의 파란색 영역은 이론적으로 바인딩 비율로 인한 바인딩에 멈추지 않는 ‘자유 모션 영역’이다. 빨간색 영역은 정적과 동적 마찰 계수에 대한 바인딩 비율 곡선 사이의 영역이다. 곡선 위의 흰색 영역은 모션이 발생하지 않을 가능성이 있는 ‘모션 없음’ 영역이다. 여기에서는 바인딩 비율이 빨간색 영역(곡선 사이의 영역)에 있는 애플리케이션의 경우 스틱-슬립이 발생할 가능성이 크다고 주장한다.

그림 8과 그림 9는 공학 참조 차트보다 설명 목적으로만 사용해야 한다. 우발적인 오용을 방지하기 위해 두 그래프의 X축 값이 제거되었다.
대신, 이 이미지는 모든 베어링 시스템이 두 가지 다른 마찰 계수(정적과 동적)가 있다는 점을 설명하는 데 사용되어야 하며, 따라서 두 개의 서로 다른 바인딩 비율도 갖는다. 리니어 재순환 볼 기반 시스템은 종종 거의 같아서 마찰의 정적과 동적 계수를 가지므로 바인딩 비율에 거의 변화가 없다. 평면 베어링은 일반적으로 정적과 동적 마찰 계수의 차이가 크므로 바인딩 비율에 큰 차이가 있다.

스틱-슬립은 흔히 멈춤과 움직임이 교대로 반복되는 주기로 설명된다. 일부 시스템은 주기 동안 특정 위치에서만 스틱-슬립 모션을 보게 된다. 이러한 유형의 동작이 같은 위치에서 반복적으로 관찰된다면, 그곳에서 시스템에 알려지지 않은 힘이 작용하고 있을 가능성이 있다. 가장 일반적인 외력은 리니어 레일의 정렬 불량이나 레일 치수의 변경, 레일의 불완전(손상으로 발생 가능)으로 발생한다.

이러한 추가적인 힘은 그림 5와 기사에 표시된 모든 식으로 설명되지 않는다. 이 힘에 마찰력을 곱해야 하고, 순간 하중으로부터의 합력을 더해야 한다. 앞의 식 10으로 돌아가서 이러한 추가적인 힘을 설명하려면, 방정식은 아래의 식 16처럼 쓸 수 있다. 적용된 힘 F₁이 여전히 마찰력보다 크면, 운동은 계속 발생한다. 그러나 마찰력의 합이 적용된 힘을 초과하면 바인딩이 발생한다.

이러한 추가적인 마찰력이 가해지기 전에 시스템이 움직일 가능성이 있으므로, 시스템의 추진력에 외력이 가해지는 순간 영역을 통과하는 데 도움이 된다.
시스템이 이 구역을 지나가면 적용된 힘이 다시 작용하여 짧은 동작이 발생하여 다시 바인딩된다. 이 운동량은 사이클이 반복되는 바인딩을 통해 시스템을 다시 푸는 데 도움이 된다. 이것은 가장 간단한 형태의 스틱 슬립이다.

현실적인 문제와 제한 그리고 문제 해결

바인딩 비율로 작업하는 데 가장 큰 문제는 실제 마찰 계수가 정량화하기 어렵고 환경적 상황에 따라 달라진다는 것이다. 일부 제조업체는 제품 카탈로그에 마찰 계수를 나열하지 않거나 동적 마찰 계수를 나열하여 제품이 더 유리하게 보이도록 해 문제를 더 어렵게 한다. 바인딩 비율의 정확성에 대한 또 다른 문제는 정렬 불량에 의한 추가적이고, 측정과 예측 불가능한 힘이다. PBC의 Frelon Gold 같은, 일부 진보된 베어링 소재는 적용된 하중에 따라 마찰 계수가 실제로 변경된다. 예상되는 마찰 계수를 두 배로 늘리는 것이 좋다. 설계에 적절한 안전 계수가 있기 때문이다.

잘못된 베어링 길이를 사용하면 또 다른 문제가 발생한다. 수리와 단위 변환 오류 외에도, 가장 보편적인 문제는 앞에서 설명한 공식에 잘못된 베어링 길이를 사용하는 것이다. 이것은 여기에서 전제하는 베어링 길이가 전체 베어링 길이가 아니어서 흔하게 일어나는 문제다. 베어링 길이는 부하를 운반하는 베어링의 길이를 의미한다. 볼 베어링 시스템에서 이를 일반적으로 ‘부하 영역(load zone)’이라고 한다.

일부 제조업체는 부하 영역의 세부 사양을 발표하지 않으므로, 엔지니어는 특정 베어링(‘부하 영역’) 길이를 추측해야 한다. 또 다른 일반적인 실수는 단일 축에 여러 개의 베어링이 있는 애플리케이션에서 발생한다. 올바른 베어링 길이는 전체 길이가 아닌 베어링들의 중심 간 거리이다(바깥쪽 모서리에서 바깥쪽 모서리까지의 길이).

바인딩과 스틱-슬립 문제를 해결하는 데 엔지니어가 취할 수 있는 몇 가지 단계가 있다. 이것은 포괄적인 문제 해결을 안내하는 내용이 아니므로 참고만 하면 된다. 대신, 이전에 토론된 이론적 원리에 기초한 몇 가지 실용적인 아이디어를 열거할 것이다. 대부분의 애플리케이션에서 바인딩/스틱-슬립 문제를 해결하는 매우 간단한 5가지 개념이 있다. 이에 특별한 순서는 없다.

· 모멘트 암 거리 감소
· 베어링 길이 증가
· 상대 균형(Counter Balance) 추가
· 외부 힘 제거
· 베어링 마찰 감소

바인딩을 방지하는 가장 이성적인 방법은 모멘트 암 거리를 줄이는 것이다. 이것을 줄이면, 애플리케이션은 바인딩이나 스틱-슬립 영역 밖으로 이동해 부드럽게 움직이는 영역으로 간다(그림 8과 9 참조). 이것은 이론상 훌륭한 개념이다.

그러나 다른 시스템의 제약 사항이 거리가 변경되는 것을 방지하기 때문에 많은 애플리케이션에 적용되는 옵션은 아니다. 다음으로, 베어링의 길이를 길게 하는 방법이 있다. 이는 더 긴 베어링/캐리지로 전환하거나, 여러 베어링 사이의 간격을 늘리거나, 두 번째 베어링을 단일 베어링 시스템에 추가하면 된다. 이것은 많은 애플리케이션에 대한 해결책일 수 있다. 그러나 모든 시스템이 베어링 길이를 더 늘릴 수 없다.

다음 제안은 모멘트를 줄이기 위해 평행추를 추가하는 것이다. 그것은 결과적으로 발생하는 힘을 줄이고, 그 결과 마찰력도 줄인다(참고: 그림 5). 평행추(counterweight)를 추가할 공간이 없거나 그것의 추가 중량이나 비용을 방지해야 하는 등 전체 시스템에 제약이 있으므로, 일부 애플리케이션에서는 이 기능이 적용되지 않는다. 또 다른 해결책은 외부의 힘을 제거하려고 시도하는 것이다. 샤프트나 레일의 정렬 불량과 손상은 매우 흔하다. 손상된 샤프트/레일은 고정될 수도, 그렇지 않을 수도 있다. 손상된 부분에서 발생하는 추가적인 힘을 제거하기 위해 부품을 교체해야 할 수도 있다. 잘못 정렬된 레일 세트를 고치려면, 종종 조립 공정에 상당한 시간과 비용이 추가될 수 있다.

이것은 생산량이 적으면 괜찮지만 대부분의 대량 생산에는 적합하지 않다. 이 옵션은 많은 애플리케이션에서 비실용적이다. 따라서 최종 해결책은 베어링 마찰을 줄이는 것이다. 주요 방법은 두 가지가 있다. 윤활 유형의 추가나 변경으로 마찰 계수를 줄이거나, 더 낮은 마찰 계수로 베어링 유형을 변경해야 한다.

일부 애플리케이션은 한 방향으로 부드럽게 동작하고 반대 방향으로 바인딩한다. 이것은 대부분 이전에 측정되지 않은 힘의 결과이다. 일반적으로 힘은 한 축에서 계산되지만, 한 축에만 적용되는 경우는 거의 없다. 바인딩 비율 거리보다 먼 거리에 적용된 힘을 가진 축 하나만이, 전체 시스템에 스틱-슬립 모션이나 완전한 바인딩을 경험하게 한다.

이 문제를 해결하는 데, 시스템 작동 시간의 절반을 쓰는 것처럼 보여 가장 당황스럽다. 이 경우, 가장 일반적인 솔루션은 베어링 길이를 늘이는 것이다(베어링 사이의 거리를 늘이거나 확장된 길이 베어링으로 ​​ 전환한다).
이 해결책들은 특별한 순서 없이 나열했다. 각 애플리케이션은 고유하므로 나열된 각각에 가장 유익한 순서로 솔루션들을 적용해야 한다.

결론

바인딩 비율은 때로 잘못 이해되는 기계적인 원리이다. 비록 엔지니어가 2:1에 대해 오랫동안 배웠지만, 규칙에 대한 오해는 여전히 많은 지연과 애플리케이션 실패를 야기한다.
따라서 규칙의 이면에 있는 수학과 이를 구현하는 방법을 명확하게 잘 이해해야 한다. 적절한 안전 계수가 있는지 확인하려 바인딩 비율을 구현하는 동안 주의해야 한다.

그렇지 않으면 예측이나 설명되지 않은 힘으로 스틱-슬립과 완전 바인딩이 발생할 수 있다. 이로 인해 시스템 오류가 발생하여 추가 생산 비용이 발생하며, 시간을 재설계하여 손해를 보게 된다. 그러므로 자유 모션 영역에 있거나 항상 바인딩 비율보다 앞서서 리니어 모션 시스템을 실행해야 한다.

자료 제공: PBC Linear(www.pbclinear.com)